Други разред средње школе

Синусна теорема 2

Синусна теорема. Примена на сложенијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Одредити остале елементе троугла ако су дати страница $a = 2\sqrt 2 $ и два његова угла $\alpha  = {45^ \circ }$ и $\beta  = {120^ \circ }$.

Пр.2)   Дате су две странице троугла $a = \frac{{10\sqrt 3 }}{3},b = 10$ и угао наспрам једне од њих $\alpha  = {30^ \circ }$. Одредти остале елементе тог троугла.

Пр.1 \[\begin{gathered}
  \alpha  + \beta  + \gamma  = {180^\circ } \hfill \\
  {45^\circ } + {120^\circ } + \gamma  = {180^\circ } \hfill \\
  \gamma  = {180^\circ } - \left( {{{45}^\circ } + {{120}^\circ }} \right) \hfill \\
  \gamma  = {15^\circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  \frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} \hfill \\
  \sin \alpha  = \sin {45^\circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\
  \sin \beta  = \sin {120^\circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  \frac{{2\sqrt 2 }}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{b}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \hfill \\
  2b = 4\sqrt 3  \hfill \\
  b = 2\sqrt 3  \hfill \\
\end{gathered} \]

\[\begin{gathered}
  \frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} \hfill \\
  \sin \gamma  = \sin {15^\circ } = \sin \frac{{{{30}^\circ }}}{2} = \sqrt {\frac{{1 - \cos {{30}^\circ }}}{2}}  = \sqrt {\frac{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{2}}  =  \hfill \\
   = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}}  = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2} \hfill \\
  \frac{{2\sqrt 2 }}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{c}{{\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}}} \hfill \\
  4 = \frac{c}{{\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}}} \hfill \\
  4 = \frac{{2c}}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }} \hfill \\
  2c = 4\sqrt {2 - \sqrt 3 }  \hfill \\
  c = 2\sqrt {2 - \sqrt 3 }  \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2 Знамо да је $b > a$ онда $\beta  > \alpha $.

\[\begin{gathered}
  \frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} \hfill \\
  b\sin \alpha  = a\sin \beta  \hfill \\
  \sin \beta  = \frac{b}{a}\sin \alpha  \hfill \\
  \sin \beta  = \frac{{10}}{{\frac{{10\sqrt 3 }}{3}}} \cdot \frac{1}{2} \hfill \\
  \sin \beta  = \frac{3}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{1}{2} \hfill \\
  \sin \beta  = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  1)\beta  = {60^\circ } \hfill \\
  \gamma  = {180^\circ } - \left( {\alpha  + \beta } \right) \hfill \\
  \gamma  = {90^\circ } \hfill \\
  {c^2} = {a^2} + {b^2} \hfill \\
  {c^2} = {\left( {\frac{{10\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {10^2} \hfill \\
  {c^2} = \frac{{100 \cdot 3}}{9} + 100 \hfill \\
  {c^2} = \frac{{400}}{3} \hfill \\
  c = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} \hfill \\
  c = \frac{{20\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
  2)\beta  = {120^\circ } \hfill \\
  \gamma  = {180^\circ } - \left( {\alpha  + \beta } \right) \hfill \\
  \gamma  = {30^\circ } \hfill \\
  \alpha  = \gamma  \hfill \\
  a = c \hfill \\
  c = \frac{{10\sqrt 3 }}{3} \hfill \\
\end{gathered} \]