Други разред средње школе

Симетрична и кососиметрична једначина

Поступак за решавање симетричних и кососиметричних једначина. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1)   Решити следећу једначину:

           $6{x^5} - 5{x^4} - 29{x^3} - 29{x^2} - 5x + 6 = 0$

Пр.1

$6{x^5} - 5{x^4} - 29{x^3} - 29{x^2} - 5x + 6 = 0$

Ово jе симетрична jедначина петог (непарног) степена, jедно њено решење jе ${x} =  - 1$

Онда можемо поделити ову једначину са ${x + 1}$

\[\begin{gathered}
6{x^5} - 5{x^4} - 29{x^3} - 29{x^2} - 5x + 6 = 0\left| { \div \left( {x + 1} \right)} \right. \hfill \\
6{x^4} - 11{x^3} - 18{x^2} - 11x + 6 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \]

Добили смо нову симетричну jедначину парног степена. Делимо ову једначину са средњим чланом ${x^2}$

\[\begin{gathered}
6{x^4} - 11{x^3} - 18{x^2} - 11x + 6 = 0\left| { \div \left( {{x^2}} \right)} \right. \hfill \\
\frac{{6{x^4}}}{{{x^2}}} - \frac{{11{x^3}}}{{{x^2}}} - \frac{{18{x^2}}}{{{x^2}}} - \frac{{11x}}{{{x^2}}} + \frac{6}{{{x^2}}} = 0 \hfill \\
6{x^2} - 11x - 18 - \frac{{11}}{x} + \frac{6}{{{x^2}}} = 0 \hfill \\
6\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - 11\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 18 = 0 \hfill \\
смена:x + \frac{1}{x} = t \Leftrightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2 \hfill \\
6\left( {{t^2} - 2} \right) - 11t - 18 = 0 \hfill \\
6{t^2} - 12 - 11t - 18 = 0 \hfill \\
6{t^2} - 11t - 30 = 0 \hfill \\
{t_{1,2}} = \frac{{11 \pm \sqrt {841} }}{{12}} \hfill \\
{t_{1,2}} = \frac{{11 \pm 29}}{2} \hfill \\
{t_1} = - \frac{3}{2},{t_2} = \frac{{10}}{3} \hfill \\
x + \frac{1}{x} = - \frac{3}{2} \vee x + \frac{1}{x} = \frac{{10}}{3} \hfill \\
x + \frac{1}{x} = - \frac{3}{2}\left| { \cdot 2x} \right. \hfill \\
2{x^2} + 3x + 2 = 0 \hfill \\
{x_{1,2}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt { - 7} }}{4} \hfill \\
{x_{1,2}} = \frac{{ - 3 \pm i\sqrt 7 }}{4} \hfill \\
x + \frac{1}{x} = \frac{{10}}{3}\left| { \cdot 3x} \right. \hfill \\
{x_{3,4}} = \frac{{10 \pm \sqrt {64} }}{6} \hfill \\
{x_{3,4}} = \frac{{10 \pm 8}}{6} \hfill \\
{x_1} = \frac{1}{3},{x_2} = 3 \hfill \\
\end{gathered} \]

\[x = \left\{ { - 1;\frac{1}{3};\frac{{ - 3 - i\sqrt 7 }}{4};\frac{{ - 3 + i\sqrt 7 }}{4};3} \right\}\]