Други разред средње школе

Логаритамске неједначине 4

Логаритми. Логаритамске неједначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити логаритамску неједначину.

пр.7)   ${\log _{5 - x}}\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 0$

пр.7) ${\log _{5 - x}}\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}{\log _{5 - x}}1$

Сматрамо два случаја:

1.) кад je $5 - x > 1$ онда нашу неједначину можемо преписати у овом облику  $\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 1$

2.) кад je $0 < 5 - x < 1$ онда нашу неједначину можемо преписати у овом облику $\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \leqslant 1$

Решимо ови два случаjа.

1.)\[\begin{gathered}
  5 - x > 1 \hfill \\
   - x > 1 - 5 \hfill \\
  x < 4 \hfill \\
\end{gathered} \]

 

\[\begin{gathered}
  \frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 1 \hfill \\
  \frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} - 1 \geqslant 0 \hfill \\
  \frac{{{x^2} + x - x - 4}}{{x + 4}} \geqslant 0 \hfill \\
  \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 4}} \geqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \]

Решимо ову неједначину табличном методом.

${x^2} - 4 = 0$ $x + 4 = 0$
$x =  \pm 2$ $x =  - 4$

11

\[x \in \left( { - 4; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\]

Решење овог случаjа: $x \in \left( { - 4; - 2} \right] \cup \left[ {2;4} \right)$

2.) $0 < 5 - x < 1$

$5 - x > 0$ $5 - x < 1$
$x < 5$ $ - x < 1 - 5$
  $ - x <  - 4$
  $x > 4$

Решење овој неједначине је $x \in \left( {4;5} \right)$

Решење неједначине $\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \leqslant 1$ можемо погледати у таблици:

$x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left[ { - 2;2} \right]$

Решење овог случаjа можемо видети на броjевноj правоj.

12

Решење овог случаjа: $x \in \emptyset $

Решење неједначине ${\log _{5 - x}}\frac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} \geqslant 0$ је униjа решења првовог и другог случаjа, а то je $x \in \left( { - 4; - 2} \right] \cup \left[ {2;4} \right)$