Други разред средње школе

Логаритамске неједначине 3

Логаритми. Логаритамске неједначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити логаритамску једначину.

Пр.6)   ${\log _{0,3}}{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \geqslant 0$

Пр.6) Услов: Логаритам jе дефинисан кад

$\left. {1.} \right){\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0$

$\left. {2.} \right)\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0$

Решимо прву неједначину

\[\begin{gathered}
  {\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0 \hfill \\
  {\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > {\log _5}1 \hfill \\
  \frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 1 \hfill \\
  \frac{{x - 3}}{{x - 4}} - 1 > 0 \hfill \\
  \frac{{x - 3 - \left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}} > 0 \hfill \\
  \frac{1}{{x - 4}} > 0 \hfill \\
\end{gathered} \]

Разломак jе позитиван ако је именилац и бројилац истог знака. Код нас је бројилац  1>0, онда \[\begin{gathered}
  x - 4 > 0 \hfill \\
  x > 4 \hfill \\
  x \in \left( {4; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \]

Решимо другу неједначину табличном методом.

\[\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0\]

${x - 3 = 0}$    ${x - 4 = 0}$
$x = 3$   $x = 4$

8

\[x \in \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\]

Решење услова: $x \in \left( {4; + \infty } \right)$

Прелазимо на решавање задатака.

\[\begin{gathered}
  {\log _{0,3}}{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \geqslant 0 \hfill \\
  {\log _{0,3}}{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \geqslant {\log _{0,3}}1 \hfill \\
\end{gathered} \]

Пази!!! Окреће се смер ($0 < 0,3 < 1$)

\[\begin{gathered}
  {\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \leqslant 1 \hfill \\
  {\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \leqslant {\log _5}5 \hfill \\
  \frac{{x - 3}}{{x - 4}} \leqslant 5 \hfill \\
  \frac{{x - 3}}{{x - 4}} - 5 \leqslant 0 \hfill \\
  \frac{{x - 3 - 5\left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}} \leqslant 0 \hfill \\
  \frac{{x - 3 - 5x + 20}}{{x - 4}} \leqslant 0 \hfill \\
  \frac{{ - 4x + 17}}{{x - 4}} \leqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \]

Решимо ову неједначину табличном методом.

${ - 4x + 17 = 0}$ ${x - 4 = 0}$
$x = \frac{{17}}{4}$ $x = 4$

9

\[x \in \left( { - \infty ;4} \right) \cup \left[ {\frac{{17}}{4}; + \infty } \right)\]

Упакуjмо

10

$x \in \left[ {\frac{{17}}{4}; + \infty } \right)$ - коначно решење.