Логаритамске неједначине 3
Логаритми. Логаритамске неједначине. Сложенији примери.
Задаци
Текст задатака објашњених у видео лекцији.
Решити логаритамску једначину.
Пр.6) ${\log _{0,3}}{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \geqslant 0$
Пр.6) Услов: Логаритам jе дефинисан кад
$\left. {1.} \right){\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0$
$\left. {2.} \right)\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0$
Решимо прву неједначину
\[\begin{gathered}
{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0 \hfill \\
{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > {\log _5}1 \hfill \\
\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 1 \hfill \\
\frac{{x - 3}}{{x - 4}} - 1 > 0 \hfill \\
\frac{{x - 3 - \left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}} > 0 \hfill \\
\frac{1}{{x - 4}} > 0 \hfill \\
\end{gathered} \]
Разломак jе позитиван ако је именилац и бројилац истог знака. Код нас је бројилац 1>0, онда \[\begin{gathered}
x - 4 > 0 \hfill \\
x > 4 \hfill \\
x \in \left( {4; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \]
Решимо другу неједначину табличном методом.
\[\frac{{x - 3}}{{x - 4}} > 0\]
${x - 3 = 0}$ | ${x - 4 = 0}$ |
$x = 3$ | $x = 4$ |
\[x \in \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\]
Решење услова: $x \in \left( {4; + \infty } \right)$
Прелазимо на решавање задатака.
\[\begin{gathered}
{\log _{0,3}}{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \geqslant 0 \hfill \\
{\log _{0,3}}{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \geqslant {\log _{0,3}}1 \hfill \\
\end{gathered} \]
Пази!!! Окреће се смер ($0 < 0,3 < 1$)
\[\begin{gathered}
{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \leqslant 1 \hfill \\
{\log _5}\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \leqslant {\log _5}5 \hfill \\
\frac{{x - 3}}{{x - 4}} \leqslant 5 \hfill \\
\frac{{x - 3}}{{x - 4}} - 5 \leqslant 0 \hfill \\
\frac{{x - 3 - 5\left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}} \leqslant 0 \hfill \\
\frac{{x - 3 - 5x + 20}}{{x - 4}} \leqslant 0 \hfill \\
\frac{{ - 4x + 17}}{{x - 4}} \leqslant 0 \hfill \\
\end{gathered} \]
Решимо ову неједначину табличном методом.
${ - 4x + 17 = 0}$ | ${x - 4 = 0}$ |
$x = \frac{{17}}{4}$ | $x = 4$ |
\[x \in \left( { - \infty ;4} \right) \cup \left[ {\frac{{17}}{4}; + \infty } \right)\]
Упакуjмо
$x \in \left[ {\frac{{17}}{4}; + \infty } \right)$ - коначно решење.