Други разред средње школе

Квадратне једначине - знак решења 2

Одређивање знака решења квадратне једначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.3)   Одреди реалан параметар $m$ тако да решења квадратне једначине

           ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m = 0$ буду негативна.

Пр.3 За оваj задатак jе потребно:

  1. $D \geqslant 0$
  2. ${x_1} \cdot {x_2} > 0$
  3. ${x_1} + {x_2} < 0$

\[\begin{gathered}
D = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2\left( {m - 1} \right)} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 4m} \right) = 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 16m = \hfill \\
= 4\left( {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 4m} \right) = 4\left( {{m^2} - 2m + 1 + 4m} \right) = 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) = \hfill \\
= 4{\left( {m + 1} \right)^2} \hfill \\
D \geqslant 0 \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} \geqslant 0,\forall m \in R \hfill \\
\hfill \\
{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 4m}}{1} = - 4m \hfill \\
{x_1} \cdot {x_2} > 0 \Leftrightarrow - 4m > 0 \Rightarrow m < 0 \hfill \\
\hfill \\
{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{1} = 2\left( {m - 1} \right) \hfill \\
{x_1} + {x_2} < 0 \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) < 0 \Rightarrow m < 1 \hfill \\
\end{gathered} \]

И коначно jе потребно наћи пресек ове три решења:

$m \in \left( { - \infty ,0} \right)$