Други разред средње школе

Квадратна једначина - знак решења

Одређивање знака решења квадратне једначине. Извођење и једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1)   Не решавајући једначину одреди знак њених решења.

           ${x^2} + 6x + 5 = 0$

пр.2)   Одредити реалан параметар $m$ тако да решења квадратне

           једначине ${x^2} + 3x + 3m - 2 = 0$ буду позитивна.

         

Пр.1 $D = {b^2} - 4ac = 36 - 4 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 > 0 \Rightarrow $  решења су реална и различита.

${x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5 > 0 \Rightarrow $ решења су истог знака.

${x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = \frac{6}{1} =  - 6 < 0 \Rightarrow $   оба решења су негативна.

 

Пр.2 За оваj задатак jе потребно:

  1. $D \geqslant 0$
  2. ${x_1} \cdot {x_2} > 0$
  3. ${x_1} + {x_2} > 0$

\[\begin{gathered}
{x^2} + 3x + 3m - 2 = 0 \hfill \\
D = {b^2} - 4ac = 9 - 4 \cdot \left( {3m - 2} \right) = 9 - 12m + 8 = 17 - 12m \hfill \\
D \geqslant 0 \Leftrightarrow 17 - 12m \geqslant 0 \Rightarrow m \leqslant \frac{{17}}{{12}} \hfill \\
\hfill \\
{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{3m - 2}}{1} = 3m - 2 \hfill \\
{x_1} \cdot {x_2} > 0 \Leftrightarrow 3m - 2 > 0 \Rightarrow m > \frac{3}{2} \hfill \\
\hfill \\
{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 3}}{1} = 3 > 0,\forall m \in R \hfill \\
\end{gathered} \]

И коначно jе потребно наћи пресек ове три решења:

$m \in \left( {\frac{2}{3},\frac{{17}}{{12}}} \right]$