Други разред средње школе

Квадратна једначина - биквадратна једначина

Решавање биквадратне једначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.1)   Реши следећу биквадратну једначину:

           ${x^4} - 13{x^2} + 36 = 0$

пр.2)   Реши биномну једначину:

           ${x^3} = 27$

пр.3)   Решити следећу једначину:

           ${x^4} = 16$

Пр.1

\[\begin{gathered}
{x^4} - 13{x^2} + 36 = 0 \hfill \\
{\left( {{x^2}} \right)^2} - 13{x^2} + 36 = 0 \hfill \\
смена:{x^2} = t \hfill \\
{t^2} - 13t + 36 = 0 \hfill \\
{t_{1,2}} = \frac{{13 \pm \sqrt {169 - 144} }}{2} \hfill \\
{t_{1,2}} = \frac{{13 \pm 5}}{2} \hfill \\
{t_1} = 4,{t_2} = 9 \hfill \\
{x^2} = 4,{x^2} = 9 \hfill \\
{x_{1,2}} = \pm \sqrt 4 ,{x_{3,4}} = \pm \sqrt 9 \hfill \\
x = \left\{ { - 3; - 2;2;3} \right\} \hfill \\
\end{gathered} \]

 

Пр. 2

\[\begin{gathered}
{x^3} = 27 \hfill \\
{x^3} - 27 = 0 \hfill \\
\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) = 0 \hfill \\
x - 3 = 0 \vee {x^2} + 3x + 9 = 0 \hfill \\
{x_1} = 3 \hfill \\
{x_{2,3}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {9 - 36} }}{2} \hfill \\
{x_{2,3}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt { - 27} }}{2} \hfill \\
{x_{2,3}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt { - 1 \cdot 9 \cdot 3} }}{2} \hfill \\
{x_{2,3}} = \frac{{ - 3 \pm 3i\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]

 

Пр.3

\[\begin{gathered}
{x^4} = 16 \hfill \\
{x^4} - 16 = 0 \hfill \\
{x^4} - {2^4} = 0 \hfill \\
{\left( {{x^2}} \right)^2} - {\left( {{2^2}} \right)^2} = 0 \hfill \\
\left( {{x^2} - {2^2}} \right)\left( {{x^2} + {2^2}} \right) = 0 \hfill \\
\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + {2^2}} \right) = 0 \hfill \\
x - 2 = 0 \vee x + 2 = 0 \vee {x^2} + {2^2} = 0 \hfill \\
{x_1} = 2 \hfill \\
{x_2} = - 2 \hfill \\
{x^2} + {2^2} = 0 \hfill \\
{x^2} = - 4 \hfill \\
{x_{3,4}} = \pm \sqrt { - 4} \hfill \\
{x_{3,4}} = \pm 2i \hfill \\
\end{gathered} \]