Други разред средње школе

Квадратна функција 4

Квадратна функција. Испитивање квадратне функције. Домен, нуле,теме, оса симетрије, кодомен, знак, монотоност. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

пр.2)   Испитати функцију:

           $f\left( x \right) =  - {x^2} + 2x + 3$

пр.3)   Испитати функцију:

           $f\left( x \right) =  - \frac{1}{3}{x^2} - 2x - 6$

Пр.2 Испитиваћемо функцију: $f\left( x \right) =  - {x^2} + 2x + 3$.

  1. Домен функције - простирање функције дуж $x - $осе $Df:R$
  2. Нуле функције - тачке пресека са $x - $осом $(y=0)$\[\begin{gathered}
       - {x^2} + 2x + 3 = 0 \hfill \\
      {x_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot 3} }}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} \hfill \\
      {x_1} = 3 \hfill \\
      {x_2} =  - 1 \hfill \\
      A\left( {3;0} \right),B\left( { - 1;0} \right) \hfill \\
    \end{gathered} \]Одмах те тачке уцртаћемо на графику.
  3. Пресек са $y - $осом. За $x=0$ je $y=3$. Добићемо тачку $C\left( {0;3} \right)$
  4. Одредимо теме параболе тачку $T\left( {\alpha ,\beta } \right)$ \[\begin{gathered}
      \alpha  =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{ - 2}} = 1 \hfill \\
      \beta  = \frac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4a}} = \frac{{ - {2^2} + 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot 3}}{{4 \cdot \left( { - 1} \right)}} = \frac{{ - 4 - 12}}{{ - 4}} = 4 \hfill \\
      T\left( {1;4} \right) \hfill \\
    \end{gathered} \]Добили смо jош jедну тачку. Повезуемо све ове тачке.
  5. Оса симетриjе jе права у односу на коjу график jе симетричан. Ова права имаће једнакост $x=\alpha$ или $x =  1$.
  6. Кодомен функције - простирање функције дуж $y - $осе.\[\overline {Df} :y \in \left( { - \infty ,4} \right]\]
  7. Знак функције\[\begin{gathered}
      y > 0,x \in \left( { - 1;3} \right) \hfill \\
      y < 0,x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right) \hfill \\
    \end{gathered} \]
  8. Монотоност. Функција је расте кад $x \in \left( { - \infty ,1} \right)$ и опада је кад $x \in \left( {1, + \infty } \right)$.

69

Пр.3 Испитиваћемо график функције: $f\left( x \right) =  - \frac{1}{3}{x^2} - 2x - 6$.

  1. Домен функције - простирање функције дуж $x - $осе $Df:R$
  2. Нуле функције - тачке пресека са $x - $осом $(y=0)$\[\begin{gathered}
       - \frac{1}{3}{x^2} - 2x - 6 = 0 \hfill \\
      {x_{1,2}} = \frac{{2 \pm \sqrt {4 - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) \cdot \left( { - 6} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right)}} \hfill \\
      {x_{1,2}} = \frac{{2 \pm \sqrt { - 4} }}{{ - \frac{2}{3}}} \hfill \\
    \end{gathered}. \] Ова једначина нема решења у скупу реалних бројева, онда и график нема тачака пресека са $x - $осом.
  3. Пресек са $y - $осом. За $x=0$ je $y=-6$. Добићемо тачку $A\left( {0;-6} \right)$
  4. Одредити теме параболе тачку $T\left( {\alpha ,\beta } \right)$ \[\begin{gathered}
      \alpha  =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot \left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}} =  - 3 \hfill \\
      \beta  = \frac{{ - {b^2} + 4ac}}{{4a}} = \frac{{ - 4 + 4 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) \cdot \left( { - 6} \right)}}{{4 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right)}} = \frac{{ - 4 + 8}}{{ - \frac{4}{3}}} =  - 3 \hfill \\
      T\left( { - 3; - 3} \right) \hfill \\
    \end{gathered} \]Добили смо jош jедну тачку. Повезуемо све ове тачке.
  5. Оса симетриjе jе права у односу на коjу график jе симетричан. Ова права имаће једнакост $x=\alpha$ или $x =  - 3$.
  6. Кодомен функције - простирање функције дуж $y - $осе.\[x \in \left( { - \infty , - 3} \right)\]
  7. Знак функције\[y < 0,\forall x \in Df\]
  8. Монотоност. Функција је расте кад $x \in \left( { - \infty , - 3} \right)$ и опада је кад $x \in \left( { - 3, + \infty } \right)$.

70