Други разред средње школе

Косинусна теорема 2

Косинусна теорема. Примена на сложенијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Пр.1)   Дате су странице $a = 2,b = 1$ и угао $\gamma  = {60^ \circ }$ неког троугла. Одредити остале елементе тог троугла.

Пр.2)   Дате су странице троугла $a = \sqrt 6 ,b = 2\sqrt 3 $ и $c = 3 - \sqrt 3 $. Израчунати углове овог троугла.

Пр.1 \[\begin{gathered}
  {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos \gamma  \hfill \\
  {c^2} = 4 + 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos \gamma  \hfill \\
  {c^2} = 3 \hfill \\
  c = \sqrt 3  \hfill \\
   \hfill \\
  \frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{c}{{\sin \gamma }} \hfill \\
  \frac{2}{{\sin \alpha }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} \hfill \\
  \sqrt 3 \sin \alpha  = 2\frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
  \sin \alpha  = 1 \hfill \\
  \alpha  = {90^\circ } \hfill \\
   \hfill \\
  \beta  = {180^\circ } - \left( {\alpha  + \gamma } \right) \hfill \\
  \beta  = {30^\circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

Пр.2\[\begin{gathered}
  {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha  \hfill \\
  6 = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {3 - \sqrt 3 } \right)^2} - 2 \cdot 2\sqrt 3  \cdot \left( {3 - \sqrt 3 } \right)\cos \alpha  \hfill \\
  6 = 12 + 9 - 6\sqrt 3  + 3 - 4\sqrt 3 \left( {3 - \sqrt 3 } \right)\cos \alpha  \hfill \\
  6 = 24 - 6\sqrt 3  + \left( { - 12\sqrt 3  + 12} \right)\cos \alpha  \hfill \\
  \left( { - 12\sqrt 3  + 12} \right)\cos \alpha  = 6 - 24 + 6\sqrt 3  \hfill \\
  \cos \alpha  = \frac{{ - 18 + 6\sqrt 3 }}{{ - 12\sqrt 3  + 12}} = \frac{{6\left( {\sqrt 3  - 3} \right)}}{{12\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}} \cdot \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }} \hfill \\
  \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 3  + 3 - 3 - 3\sqrt 3 }}{{2\left( {1 - 3} \right)}} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{{ - 4}} \hfill \\
  \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]

109

$\alpha  = {30^\circ }$ ($\alpha$ не може да буде ${330^\circ }$)

\[\begin{gathered}
  \frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\sin \beta }} \hfill \\
  \frac{{\sqrt 6 }}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sin \beta }} \hfill \\
  2\sqrt 6  = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sin \beta }} \hfill \\
  \sin \beta  = \frac{{2\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 \sqrt 3 }} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\
\end{gathered} \]

110

\[\begin{gathered}
  1)\beta  = {45^\circ } \hfill \\
  \gamma  = {105^\circ } \hfill \\
  2)\beta  = {135^\circ } \hfill \\
  \gamma  = {15^\circ } \hfill \\
\end{gathered} \]

$\gamma $ не може бити ${105^\circ }$ ($c < a < b \Rightarrow \gamma  < \alpha  < \beta $) онда $\alpha  = {30^\circ };\beta  = {135^\circ };\gamma  = {15^\circ }$