Експоненцијалне једначине 5

Решавање експоненцијалне једначине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији.

Решити експоненцијалну једначину.

пр.15) ${6^x} + {6^{x + 1}} = {2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}}$

пр.16) ${5^{2x}} - {7^x} - {5^{2x}} \cdot 35 + {7^x} \cdot 35 = 0$

пр.17) $7 \cdot {3^{x + 1}} - {5^{x + 2}} = {3^{x + 4}} - {5^{x + 3}}$

Пр.15

$\begin{aligned}&{6^x} + {6^{x + 1}} = {2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} \\ &{6^x} + {6^x} \cdot 6 = {2^x} + {2^x} \cdot 2 + {2^x} \cdot {2^2} \\ &{6^x}\left( {1 + 6} \right) = {2^x}\left( {1 + 2 + 4} \right) \\ &{6^x} \cdot 7 = {2^x} \cdot 7 \\ &{6^x} = {2^x}\left| {{2^x}} \right. \\ &\frac{{{6^x}}}{{{2^x}}} = 1 \\ &{\left( {\frac{6}{2}} \right)^x} = 1 \\ &{3^x} = 1 \\ &x = 0\end{aligned}$

Пр.16

$\begin{aligned}&{5^{2x}} - {7^x} - {5^{2x}} \cdot 35 + {7^x} \cdot 35 = 0 \\ &{5^{2x}} - {5^{2x}} \cdot 35 = {7^x} - {7^x} \cdot 35 \\ &{5^{2x}}\left( {1 - 35} \right) = {7^x}\left( {1 - 35} \right) \\ &{5^{2x}} = {7^x}\left| { \div {7^x}} \right. \\ &\frac{{{5^{2x}}}}{{{7^x}}} = 1 \\ &\frac{{{{25}^x}}}{{{7^x}}} = 1 \\ &{\left( {\frac{{25}}{7}} \right)^x} = 1 \\ &x = 0\end{aligned}$

Пр.17

$\begin{aligned}&7 \cdot {3^{x + 1}} - {5^{x + 2}} = {3^{x + 4}} - {5^{x + 3}} \\ &7 \cdot {3^x} \cdot 3 - {5^x} \cdot {5^2} = {3^x} \cdot {3^4} - {5^x} \cdot {5^3} \\ &21 \cdot {3^x} - 25 \cdot {5^x} = 81 \cdot {3^x} - 125 \cdot {5^x} \\ &21 \cdot {3^x} - 81 \cdot {3^x} = 25 \cdot {5^x} - 125 \cdot {5^x} \\ &{3^x}\left( {21 - 81} \right) = {5^x}\left( {25 - 125} \right) \\ &{3^x}\left( { - 60} \right) = {5^x}\left( { - 100} \right)\left| \div \right.{5^x}\left( { - 60} \right) \\ &\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}} = \frac{5}{3} \\ &{\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} = {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{ - 1}} \\ &x = - 1\end{aligned}$

Кад једначина садржи степене две различите основе, као $3^{x + 1}$ и $5^{x + 2}$ , групишите чланове исте основе на истој страни. Сваки члан раставите на $a^x \cdot a^k$ и извуците заједнички чинилац, па са једне стране остане $C \cdot a^x$ , а са друге $D \cdot b^x$ . Поделите са $C \cdot b^x$ , што није нула, и добијате $\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{D}{C}$ . Десну страну препознајте као степен основе $\frac{a}{b}$ , па изједначите изложиоце; често је то $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$ или $\left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1$ . Ако обе стране имају исти бројни чинилац, одмах га скратите, а на крају решење проверите заменом. Честа грешка је $5^x - 3^x$ записати као $2^x$ .

Основа r1,5

Десна страна q3,375

Решење x: 3

Решење једначине

r^x = q

је апсциса пресека криве и праве. Кад је

q

тачан степен основе, на пример

\frac{27}{8} = 1{,}5^3

, решење је цео број. Кад основа

r

падне испод 1, крива опада, па за

q > 1

решење постаје негативно.

Овако се пореде две величине које расту различитим темпом, а свака има више делова, на пример укупан број играча свих игрица два студија или вредност два улога са различитим растом.

Играчи два студија

Студио из Новог Сада има две мобилне игрице, са 24.000 и 3.000 играча, а број играча обе се удвостручује сваког месеца. Студио из Београда има две игрице, са 5.000 и 3.000 играча, чији се број утростручује сваког месеца. После колико месеци ће студији имати исти укупан број играча?

Решење

У хиљадама, после $t$ месеци: $24 \cdot 2^t + 3 \cdot 2^t = 5 \cdot 3^t + 3 \cdot 3^t$ .
Групишемо чланове исте основе: $(24 + 3) \cdot 2^t = (5 + 3) \cdot 3^t$ , тј. $27 \cdot 2^t = 8 \cdot 3^t$ .
Делимо са $8 \cdot 2^t$ : $\left(\frac{3}{2}\right)^t = \frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$ , па је $t = 3$ .
Провера: $27 \cdot 2^3 = 216$ и $8 \cdot 3^3 = 216$ хиљада играча.

Одговор: После 3 месеца оба студија имају по 216.000 играча.

Задатак за вежбу

Решите једначину $5^{x + 1} - 3^x = 3^{x + 2} - 5^x$ .

Прикажи решење

Групишемо: $5^{x + 1} + 5^x = 3^{x + 2} + 3^x$ , тј. $6 \cdot 5^x = 10 \cdot 3^x$ . Одатле је $\left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ , па је $x = 1$ .