Диференцијалне једначине - решени задаци
Поступно решени задаци из дифреренцијалних једначина. Задатке приредила професор Сузана Исаков.

Ојлерова диференцијална једначина

\[\begin{array} \\ {A_n}{\left( {ax + b} \right)^n}{y^{\left( n \right)}} + {A_{n - 1}}{\left( {ax + b} \right)^{n - 1}}{y^{\left( {n - 1} \right)}} + ... + {A_1}\left( {ax + b} \right)y' + {A_0}y = f\left( x \right) \\ {A_n},{A_{n - 1}},...,{A_1},{A_0},a,b - const. \\ ax + b > 0 \\ \\ {\text{ смена : }} ax + b = {e^t} \\ {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} t = \ln \left( {ax + b} \right) \\ {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} dt = \frac{1}{{ax + b}} \cdot adx \\ {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {\text{ }}{\text{ }} \frac{{dt}}{{dx}} = {e^{ - t}} \cdot a \\ \\ y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = \dot y \cdot {e^{ - t}}a \\ y'' = \frac{{dy'}}{{dx}} = \frac{{dy'}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = \frac{d}{{dt}}\left( {\dot y \cdot {e^{ - t}}a} \right) \cdot {e^{ - t}}a = \\ {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }} {\text{ }}= \left( {\ddot y \cdot {e^{ - t}}a + \dot y \cdot \left( { - {e^{ - t}}a} \right)} \right) \cdot {e^{ - t}}a = {a^2}{e^{ - 2t}}\left( {\ddot y - \dot y} \right) \end{array}\]

Задаци

1. Реши диференцијалну једначину ${x^2}y'' + 2xy' - 2y = 2{x^2} + 3\ln x + 2$.

Препознајемо да је дата диференцијална једначина Ојлерова, па уводимо смену:

$x = {e^t}{\text{   }}{\text{ }} {\text{ }}  \Rightarrow {\text{   }}{\text{ }} {\text{ }}  t = \ln x$

$dx = {e^t}dt$

$\frac{{dt}}{{dx}} = {e^{ - t}}$

$y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = \dot y \cdot {e^{ - t}}$

$y'' = \frac{{dy'}}{{dx}} = \frac{{dy'}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = \frac{d}{{dt}}\left( {\dot y \cdot {e^{ - t}}} \right) \cdot {e^{ - t}} = $

$ {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} = \left( {\ddot y{e^{ - t}} + \dot y\left( { - {e^{ - t}}} \right)} \right) \cdot {e^{ - t}} = \left( {\ddot y - \dot y} \right) \cdot {e^{ - 2t}}$

Уврштавајући у полазну једначину добијамо

$\left( {\ddot y{e^{ - t}} + \dot y\left( { - {e^{ - t}}} \right)} \right) \cdot {e^{ - t}} = \left( {\ddot y - \dot y} \right) \cdot {e^{ - 2t}}$

${e^{2t}}\left( {\ddot y - \dot y} \right) \cdot {e^{ - 2t}} + 2{e^t}\dot y \cdot {e^{ - t}} - 2y = 2{e^{2t}} + 3t + 2$

$\ddot y - \dot y + 2\dot y - 2y = 2{e^{2t}} + 3t + 2$

$\ddot y + \dot y - 2y = 2{e^{2t}} + 3t + 2$

Овим смо нашу диференцијалну једначину свели на диференцијалну једначину са константним коефицијентима, коју даље лако решавамо.

 

Најпре решавамо хомогени део:

${k^2} + k - 2 = 0$

${k_1} =  - 2{\text{   }}{\text{   }} \wedge {\text{   }}{\text{   }} {k_2} = 1$

${y_h} = {C_1}{e^{ - 2t}} + {C_2}{e^t}$

Враћајући смену $t = \ln x$ добијамо да је решење хомогеног дела

${y_h} = \frac{{{C_1}}}{{{x^2}}} + {C_2}x$

 

${f_1}\left( x \right) = 2{e^{2t}}$

$\left. \begin{gathered}
  a = 2 \hfill \\
  b = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {\text{   }}a \pm bi = 2{\text{   }}{\text{   }} \Rightarrow {\text{   }} {\text{   }}r = 0$

$\left. \begin{gathered}
  n = 0 \hfill \\
  m = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {\text{   }} {\text{   }}N = 0$

${y_{{p_1}}} = {t^0}{e^{2t}}\left( {A\cos 0t + B\sin 0t} \right)$

${y_{{p_1}}} = A{e^{2t}}$

${{\dot y}_{{p_1}}} = 2A{e^{2t}}$

${{\ddot y}_{{p_1}}} = 4A{e^{2t}}$

Уврштавајући у полазну једначину

$4A{e^{2t}} + 2A{e^{2t}} - 2A{e^{2t}} = 2{e^{2t}}$

$4A{e^{2t}} = 2{e^{2t}} {\text{   }}{\text{   }} \Rightarrow {\text{   }} {\text{   }}A = \frac{1}{2}$

${y_{{p_1}}} = \frac{1}{2}{e^{2t}}$

Коначно, када вратимо смену добијамо

${y_{{p_1}}} = \frac{1}{2}{x^2}$

 

${f_2}\left( x \right) = 3t + 2$

$\left. \begin{gathered}
  a = 0 \hfill \\
  b = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {\text{   }}a \pm bi = 0 {\text{   }}{\text{   }} \Rightarrow {\text{   }} {\text{   }}r = 0$

$\left. \begin{gathered}
  n = 1 \hfill \\
  m = 0 \hfill \\
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {\text{   }} {\text{   }}N = 1$

${y_{{p_2}}} = {t^0}{e^{0t}}\left( {\left( {At + B} \right)\cos 0t + \left( {Ct + D} \right)\sin 0t} \right)$

${y_{{p_2}}} = At + B$

${{\dot y}_{{p_2}}} = A$

${{\ddot y}_{{p_2}}} = 0$

$0 + A - 2\left( {At + B} \right) = 3t + 2$

$A =  - \frac{3}{2} {\text{   }}{\text{   }} \wedge {\text{   }} {\text{   }} B =  - \frac{7}{4}$

${y_{{p_2}}} =  - \frac{3}{2}t - \frac{7}{4}$

${y_{{p_2}}} =  - \frac{3}{2}\ln x - \frac{7}{4}$

Коначно решење наше полазне једначине је

\[Y = {y_h} + {y_{{p_1}}} + {y_{{p_2}}}\]

\[Y = \frac{{{C_1}}}{{{x^2}}} + {C_2}x + \frac{1}{2}{x^2} +  - \frac{3}{2}\ln x - \frac{7}{4}\]

2. Реши диференцијалну једначину

${\left( {2 + 3x} \right)^2}y + 3\left( {2 + 3x} \right)y' - 4y = {\root 3 \of {2 + 3x} ^2} + 3\ln \left( {2 + 3x} \right)$.

 

$\left( {2 + 3x} \right) = {e^t}{\text{   }}{\text{ }} {\text{ }}  \Rightarrow {\text{   }}{\text{ }} {\text{ }}  t = \ln \left( {2 + 3x} \right)$

$3dx = {e^t}dt$

${{dt} \over {dx}} = {3 \over {{e^t}}} = 3{e^{ - t}}$

$y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} =3 \dot y \cdot {e^{ - t}}$

$y'' = \frac{{dy'}}{{dx}} = \frac{{dy'}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = \frac{d}{{dt}}\left( {3 \dot y \cdot {e^{ - t}}} \right) \cdot 3{e^{ - t}} = $

$ {\text{ }} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} = \left( {3 \ddot y{e^{ - t}} +3 \dot y\left( { - {e^{ - t}}} \right)} \right) \cdot {e^{ - t}} =9{e^{ - 2t}} \cdot \left( {\ddot y - \dot y} \right)$

Уврштавајући у полазну једначину добијамо

${e^{2t}} \cdot 9{e^{ - 2t}}\left( {\ddot y - \dot y} \right) + 3{e^t} \cdot 3{e^{ - t}}\dot y - 4y = \root 3 \of {{e^{2t}}}  + 3\ln {e^t}$

$9\ddot y - 9\dot y + 9\dot y - 4y = {e^{{2 \over 3}t}} + 3t$

$9\ddot y - 4y = {e^{{2 \over 3}t}} + 3t$

 

$9\ddot y - 4y = 0$

$9{k^2} - 4 = 0$

${k_{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 1$}
\kern-0.1em/\kern-0.15em
\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}}} = \pm {2 \over 3}$

${y_h} = {C_1}{e^{{2 \over 3}t}} + {C_2}{e^{ - {2 \over 3}t}}$

 

${f_1}\left( x \right) = {e^{{2 \over 3}t}}$

$\left. \begin{gathered}
  a = {2 \over 3} \hfill \\
  b = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {\text{   }}a \pm bi = {2 \over 3}{\text{   }}{\text{   }} \Rightarrow {\text{   }} {\text{   }}r = 1$

$\left. \begin{gathered}
  n = 0 \hfill \\
  m = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {\text{   }} {\text{   }}N = 0$

${y_{{p_1}}} = {t^1}{e^{{2 \over 3}t}}\left( {A\cos 0t + B\sin 0t} \right)$

${y_{{p_1}}} = At{e^{{2 \over 3}t}}$

${{\dot y}_{{p_1}}} = A{e^{{2 \over 3}t}} + At{2 \over 3}{e^{{2 \over 3}t}} = {e^{{2 \over 3}t}}\left( {A + {2 \over 3}At} \right)$

${{\ddot y}_{{p_1}}} = {2 \over 3}{e^{{2 \over 3}t}}\left( {A + {2 \over 3}At} \right) + {e^{{2 \over 3}t}}{2 \over 3}A = {e^{{2 \over 3}t}}\left( {{4 \over 3}A + {4 \over 9}At} \right)$

$9{e^{{2 \over 3}t}}\left( {{4 \over 3}A + {4 \over 9}At} \right) - 4At{e^{{2 \over 3}t}} = {e^{{2 \over 3}t}}$

$A = {1 \over {12}}$

${y_{{p_1}}} = {1 \over {12}}t{e^{{2 \over 3}t}}$

 

${f_2}\left( x \right) = 3t$

$\left. \begin{gathered}
  a = 0 \hfill \\
  b = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {\text{   }}a \pm bi = 0 {\text{   }}{\text{   }} \Rightarrow {\text{   }} {\text{   }}r = 0$

$\left. \begin{gathered}
  n = 1 \hfill \\
  m = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow {\text{   }} {\text{   }}N = 1$

${y_{{p_2}}} = {t^0}{e^{0t}}\left( {\left( {At + B} \right)\cos 0t + \left( {Ct + D} \right)\sin 0t} \right)$

${y_{{p_2}}} = At + B$

${{\dot y}_{{p_2}}} = A$

${{\ddot y}_{{p_2}}} = 0$

$9 \cdot 0 - 4\left( {At + B} \right) = 3t$

$A =  - \frac{3}{4} {\text{   }}{\text{   }} \wedge {\text{   }} {\text{   }} B =  0$

${y_{{p_1}}} =  - {3 \over 4}t$

 

\[Y = {y_h} + {y_{{p_1}}} + {y_{{p_2}}}\]

$$Y = {C_1}{e^{{2 \over 3}t}} + {C_2}{e^{ - {2 \over 3}t}} + {1 \over {12}}t{e^{{2 \over 3}t}} - {3 \over 4}t$$

$$Y = {C_1}{\root 3 \of {2 + 3x} ^2} + {{{C_2}} \over {{{\root 3 \of {2 + 3x} }^2}}} + {{{{\root 3 \of {2 + 3x} }^2}} \over {12}}\ln \left( {2 + 3x} \right) - {3 \over 4}\ln \left( {2 + 3x} \right)$$