Диференцијалне једначине - решени задаци
Поступно решени задаци из дифреренцијалних једначина. Задатке приредила професор Сузана Исаков.

Диференцијалне једначине са константим коефицијентима

\[\begin{array} \\ y'' + py' + qy = f\left( x \right) \\ \\ {\text{Најпре решавамо хомогени део диференцијалне једначине : }} \\ y'' + py' + qy = 0 \\ {k^2} + pk + q = 0 {\text{ -карактеристична једначина }} \\ {k_{1/2}} {\text{ -корени карактеристичне једначине }} \\ {\text{Ако је : }} \\ {k_1} \ne {k_2} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {y_h} = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}{e^{{k_2}x}} \\ {k_1} = {k_2} {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {y_h} = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}x{e^{{k_1}x}} \\ {k_{1/2}} = \alpha \pm \beta i {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} \Rightarrow {\text{ }}{\text{ }}{\text{ }} {y_h} = {e^{\alpha x}}\left( {{C_1}\cos \beta x + {C_2}\cos \beta x} \right) \\ \\ {\text{Ако је нехомогени део облика }} \\ f\left( x \right) = {e^{ax}}\left( {{P_n}\left( x \right)\cos bx + {Q_n}\left( x \right)\sin bx} \right) \\ {\text{Тада је партикуларно решење облика : }} \\ {y_p} = {x^r}{e^{ax}}\left( {{S_N}\left( x \right)\cos bx + {T_N}\left( x \right)\sin bx} \right) \\ {\text{где је r-вишеструкост $a \pm bi$ као корена карактеристичне једначине, а $N = \max \left\{ {n,m} \right\}$}} \\ \end{array}\]

Задаци

1. Наћи опште решење диференцијалне једначине   $y'' + 5y' + 6y = x$.

Најпре решавамо хомогени део ове диференцијалне једначине 
$y'' + 5y' + 6y = 0$
Решавајући њену карактеристичну једначину 
${k^2} + 5k + 6 = 0$
добијамо да су њена решења
${k_1} =  - 3{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} \wedge {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} {k_2} =  - 2$
па је хомогено решење наше диференцијалне једначине

\[{y_h} = {C_1}{e^{ - 3x}} + {C_2}{e^{ - 2x}}\]

Да бисмо одредили партикуларно решење посматрамо нехомогени део

$f\left( x \right) = x$

Како нехомогени део треба да буде облика  $f\left( x \right) = {e^{ax}}\left( {{P_n}\left( x \right)\cos bx + {Q_m}\left( x \right)\sin bx} \right)$
Закључујемо

$\left. \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} a \pm ib = 0 {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} r = 0$

$\left. \begin{array}{l}
n = 1\\
m = /
\end{array} \right\} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} N = 1$

Па је партикуларно решење облика

${y_p} = {x^0}{e^{0x}}\left( {\left( {Ax + B} \right)\cos 0x + \left( {Cx + D} \right)\sin 0x} \right)$

односно   ${y_p} = Ax + B$

 

Потребно је још одредити коефицијенте А и В.
То ћемо учинити убацујући партикуларно решење у почетну једначину.

${y_p}' = A$

${y_p}'' = 0$

$0 + 5A + 6\left( {Ax + B} \right) = x$

$6Ax + 5A + 6B = x$

Изједначавајући коефицијенте уз одговарајуће степене добијамо

$6A = 1 {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} A = \frac{1}{6}$

$5A + 6B = 0 {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} B =  - \frac{5}{{36}}$

па је партикуларно решење

\[{y_p} = \frac{1}{6}x - \frac{5}{{36}}\]

односно коначно решење полазне диференцијалне једначине

\[Y = {C_1}{e^{ - 3x}} + {C_2}{e^{ - 2x}} + \frac{1}{6}x - \frac{5}{{36}}\]

 

2. Наћи опште решење диференцијалне једначине   $y''' - 4y' = {x^2}{e^{2x}}$

Најпре решавамо хомогени део ове диференцијалне једначине 

$y''' - 4y' = 0$

${k^3} - 4k = 0$

$k\left( {{k^2} - 4} \right) = 0$

${k_1} = 0{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \wedge {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} {k_2} = 2{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} \wedge {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} {k_3} =  - 2$

Следи да је хомогено решење наше диференцијалне једначине

\[{y_h} = {C_1}{e^{0x}} + {C_2}{e^{2x}} + {C_3}{e^{ - 2x}}\]

\[{y_h} = {C_1} + {C_2}{e^{2x}} + {C_3}{e^{ - 2x}}\]

 

Из нехомогеног дела  $f\left( x \right) = {x^2}{e^{2x}}$  закључујемо да је

$\left. \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} a \pm ib = 2{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} r = 1$

$\left. \begin{array}{l}
n = 2\\
m = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} N = 2$

Па је партикуларно решење облика

${y_p} = {x^1}{e^{2x}}\left( {\left( {A{x^2} + Bx + C} \right)\cos 0x + \left( {D{x^2} + Ex + F} \right)\sin 0x} \right)$

${y_p} = x{e^{2x}}\left( {A{x^2} + Bx + C} \right)$

 

Одредимо још коефицијенте  А,B,C и D

${y_p}' = 2{e^{2x}}\left( {A{x^3} + B{x^2} + Cx} \right) + {e^{2x}}\left( {3A{x^2} + 2Bx + C} \right)$

${y_p}' = {e^{2x}}\left( {2A{x^3} + \left( {2B + 3A} \right){x^2} + \left( {2C + 2B} \right)x + C} \right)$

 

${y_p}'' = 2{e^{2x}}\left( {2A{x^3} + \left( {2B + 3A} \right){x^2} + \left( {2C + 2B} \right)x + C} \right)$

${\text{      }}{\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}  {\text{      }} {\text{      }} + {e^{2x}}\left( {6A{x^2} + \left( {4B + 6A} \right)x + 2C + 2B} \right)$

${y_p}'' = {e^{2x}}\left( {4A{x^3} + \left( {4B + 12A} \right){x^2} + \left( {4C + 8B + 6A} \right)x + 4C + 2B} \right)$

 

${y_p}''' = 2{e^{2x}}\left( {4A{x^3} + \left( {4B + 12A} \right){x^2} + \left( {4C + 8B + 6A} \right)x + 4C + 2B} \right) $

${\text{      }}{\text{      }}{\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}{\text{      }} + {e^{2x}}\left( {12A{x^2} + \left( {8B + 24A} \right)x + 4C + 8B + 6A} \right)$

${y_p}''' = {e^{2x}}\left( {8A{x^3} + \left( {8B + 36A} \right){x^2} + \left( {8C + 24B + 36A} \right)x + 12C + 12B + 6A} \right)$

 

Уврштавајући партикуларно решење у полазну једначину
$y''' - 4y' = {x^2}{e^{2x}}$ добијамо

${e^{2x}}\left( {8A{x^3} + \left( {8B + 36A} \right){x^2} + \left( {8C + 24B + 36A} \right)x + 12C + 12B + 6A} \right)$

$- 4{e^{2x}}\left( {2A{x^3} + \left( {2B + 3A} \right){x^2} + \left( {2C + 2B} \right)x + C} \right)= {x^2}{e^{2x}}$

 

$ \left( {8A - 8A} \right){x^3} + \left( {8B + 36A - 8B - 12A} \right){x^2} + \left( {8C + 24B + 36A - 8C - 8B} \right)x $

$+ \left( {12C + 12B + 6A - 4C} \right) = {x^2}$

 

Изједначавајући коефицијенте уз одговарајуће степене добијамо

$24A = 1{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} A = \frac{1}{{24}}$

$36A + 16B = 0 {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} B =  - \frac{3}{{32}}$

$6A + 12B + 8C = 0 {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} C = \frac{7}{{64}}$

па је партикуларно решење

${y_p} = x{e^{2x}}\left( {\frac{1}{{24}}{x^2} - \frac{3}{{32}}x + \frac{7}{{64}}} \right)$

односно коначно решење полазне диференцијалне једначине

\[Y = {y_h} + {y_p} = {C_1} + {C_2}{e^{2x}} + {C_3}{e^{ - 2x}} + {e^{2x}}\left( {\frac{1}{{24}}{x^3} - \frac{3}{{32}}{x^2} + \frac{7}{{64}}x} \right)\]

 

 

3. Наћи опште решење диференцијалне једначине   $y''' - 2y'' = x\sin 2x$

Најпре решавамо хомогени део ове диференцијалне једначине 

$y''' - 2y'' = 0$

${k^3} - 2{k^2} = 0$

${k^2}\left( {k - 2} \right) = 0$

${k_{1,2}} = 0{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \wedge{\text{      }}{\text{      }} {\rm{   }}{k_3} = 2$

Следи да је хомогено решење наше диференцијалне једначине

\[{y_h} = {C_1}{e^{0x}} + {C_2}x{e^{0x}} + {C_3}{e^{2x}}\]

\[{y_h} = {C_1} + {C_2}x + {C_3}{e^{2x}}\]

 

Из нехомогеног дела  $f\left( x \right) = x\sin 2x$  закључујемо да је

$\left. \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 2
\end{array} \right\} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} a \pm bi = 2i {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} r = 0$

$\left. \begin{array}{l}
n = 0\\
m = 1
\end{array} \right\} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} N = 1$

Па је партикуларно решење облика

${y_p} = {x^0}{e^{0x}}\left( {\left( {Ax + B} \right)\cos 2x + \left( {Cx + D} \right)\sin 2x} \right)$

${y_p} = \left( {Ax + B} \right)\cos 2x + \left( {Cx + D} \right)\sin 2x$

 

Одредимо још коефицијенте  А,B,C и D

${y_p}' = A\cos 2x + \left( {Ax + B} \right)\left( { - 2\sin 2x} \right) + C\sin 2x + \left( {Cx + D} \right)2\cos 2x$

${y_p}' = \left( {A + 2Cx + 2D} \right)\cos 2x + \left( { - 2Ax - 2B + C} \right)\sin 2x$

 

${y_p}'' = 2C\cos 2x + \left( {A + 2Cx + 2D} \right)\left( { - 2\sin 2x} \right) - 2A\sin 2x + \left( { - 2Ax - 2B + C} \right)2\cos 2x$

${y_p}'' = \left( {4C - 4Ax - 4B} \right)\cos 2x + \left( { - 4A - 4Cx - 4D} \right)\sin 2x$

 

${y_p}''' =  - 4A\cos 2x + \left( {4C - 4Ax - 4B} \right)\left( { - 2\sin 2x} \right) - 4C\sin 2x + \left( { - 4A - 4Cx - 4D} \right)2\cos 2x$

${y_p}''' = \left( { - 12A - 8Cx - 8D} \right)\cos 2x + \left( { - 12C + 8Ax + 8B} \right)\sin 2x$

 

Уврштавајући партикуларно решење у полазну једначину

$y''' - 2y'' = x\sin 2x$

$\left( { - 12A - 8Cx - 8D} \right)\cos 2x + \left( { - 12C + 8Ax + 8B} \right)\sin 2x + $

$+ \left( { - 8C + 8Ax + 8B} \right)\cos 2x + \left( {8A + 8Cx + 8D} \right)\sin 2x = x\sin 2x$

 

$\left( { - 12A - 8Cx - 8D - 8C + 8Ax + 8B} \right)\cos 2x +$

$+ \left( { - 12C + 8Ax + 8B + 8A + 8Cx + 8D} \right)\sin 2x = x\sin x$

 

$ - 12A - 8Cx - 8D - 8C + 8Ax + 8B = 0$

$ - 12C + 8Ax + 8B + 8A + 8Cx + 8D = x$

 

$ - 12A - 8D - 8C + 8B = 0$

$ - 8C + 8A = 0$

$ - 12C + 8B + 8A + 8D = 0$

$8A + 8C = 1$

 

$A = \frac{1}{{16}}$

$C = \frac{1}{{16}}$

$B = \frac{3}{{32}}$

$D =  - \frac{1}{{16}}$

 

Па је партикуларно решење наше једначине

\[{y_p} = \left( {\frac{1}{{16}}x + \frac{3}{{32}}} \right)\cos 2x + \left( {\frac{1}{{16}}x - \frac{1}{{16}}} \right)\sin 2x\]

Односно коначно решење

\[Y = {C_1} + {C_2}x + {C_3}{e^{2x}} + \left( {\frac{1}{{16}}x + \frac{3}{{32}}} \right)\cos 2x + \left( {\frac{1}{{16}}x - \frac{1}{{16}}} \right)\sin 2x\]

 

 

4. Диференцијалну једначину   $y'' + y'tgx - y{\cos ^2}x = {e^{2\sin x}}{\cos ^2}x$   сменом   $t = \sin x$   свести на диференцијалну једначину са константним коефицијентима и решити је.

$t = \sin x$

$\cos x = \sqrt {1 - {{\sin }^2}x}  = \sqrt {1 - {t^2}} $

$tgx = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{t}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}$

 

$t = \sin x$

$dt = \cos xdx$

$\frac{{dt}}{{dx}} = \cos x = \sqrt {1 - {t^2}} $

 

$y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = \dot y \cdot \cos x= \dot y \cdot \sqrt {1 - {t^2}} $

$y'' = \frac{{dy'}}{{dx}} = \frac{{dy'}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = \frac{d}{{dt}}\left( {\dot y\sqrt {1 - {t^2}} } \right) \cdot \cos x = $

$ {\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}{\text{      }}  = \left( {\ddot y\sqrt {1 - {t^2}}  + \dot y\frac{1}{{2\sqrt {1 - {t^2}} }} \cdot \left( { - 2t} \right)} \right) \cdot \sqrt {1 - {t^2}}  = $

${\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}{\text{      }}  = \ddot y\left( {1 - {t^2}} \right) - t\dot y$

 

Уврштавајући у почетну диференцијалну једначину добијамо:

$\ddot y\left( {1 - {t^2}} \right) - t\dot y + \dot y\sqrt {1 - {t^2}}  \cdot \frac{t}{{\sqrt {1 - {t^2}} }} - y\left( {1 - {t^2}} \right) = {e^{2t}}\left( {1 - {t^2}} \right)$

$\ddot y\left( {1 - {t^2}} \right) - t\dot y + \dot yt - y\left( {1 - {t^2}} \right) = {e^{2t}}\left( {1 - {t^2}} \right)$

$\ddot y\left( {1 - {t^2}} \right) - y\left( {1 - {t^2}} \right) = {e^{2t}}\left( {1 - {t^2}} \right){\text{      }}{\text{      }} /:\left( {1 - {t^2}} \right)$

$\ddot y - y = {e^{2t}}$

Овим смо нашу диференцијалну једначину свели на диференцијалну једначину са константним коефицијентима, коју сада лако решавамо.

$\ddot y - y = 0$

${k^2} - 1 = 0$

${k^2} = 1$

${k_{1/2}} =  \pm 1$

\[{y_h} = {C_1}{e^{1t}} + {C_2}{e^{ - 1t}} = {C_1}{e^{\sin x}} + {C_2}{e^{ - \sin x}}\]

 

$f\left( t \right) = {e^{2t}}$

$\left. \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} a \pm ib = 2 {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} r = 0$

$\left. \begin{array}{l}
n = 0\\
m = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} N = 0$

${y_p} = A{e^{2t}}$

${y_p}' = 2A{e^{2t}}$

${y_p}'' = 4A{e^{2t}}$

 

$4A{e^{2t}} - A{e^{2t}} = {e^{2t}}$

$3A{e^{2t}} = {e^{2t}}$

$A = \frac{1}{3}$

\[{y_p} = \frac{1}{3}{e^{2t}} = \frac{{{e^{2\sin x}}}}{3}\]

 

\[Y = {y_h} + {y_p} = {C_1}{e^{\sin x}} + {C_2}{e^{ - \sin x}} + \frac{{{e^{2\sin x}}}}{3}\]

 

 

5. Диференцијалну једначину   $\left( {1 + {e^x}} \right)y'' - \left( {1 + 3{e^x} + {e^{2x}}} \right)y' = {\left( {1 + {e^x}} \right)^3}\left( {x + {e^x} + {e^x}{e^{{e^x}}}} \right)$   сменом   $t = x + {e^x}$   свести на диференцијалну једначину са константним коефицијентима и решити је.

$t = x + {e^x}$

$dt = \left( {1 + {e^x}} \right)dx$

$\frac{{dt}}{{dx}} = 1 + {e^x}$

 

$y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = \dot y\left( {1 + {e^x}} \right)$

$y'' = \frac{{dy'}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\dot y\left( {1 + {e^x}} \right)} \right) = \frac{{d\dot y}}{{dx}}\left( {1 + {e^x}} \right) + \dot y\frac{{d\left( {1 + {e^x}} \right)}}{{dx}} = $

${\text{      }}{\text{      }}  {\text{      }}{\text{      }} = \frac{{d\dot y}}{{dt}} \frac{{dt}}{{dx}}\left( {1 + {e^x}} \right) + \dot y{e^x} = \ddot y \left( {1 + {e^x}} \right)\left( {1 + {e^x}} \right) + \dot y{e^x}$

 

$\left( {1 + {e^x}} \right)\left( {\ddot y {{\left( {1 + {e^x}} \right)}^2} + \dot y{e^x}} \right) - \left( {1 + 3{e^x} + {e^{2x}}} \right)\dot y\left( {1 + {e^x}} \right) = {\left( {1 + {e^x}} \right)^3}\left( {x + {e^x} + {e^{x + {e^x}}}} \right)$

$\ddot y {\left( {1 + {e^x}} \right)^3} + \dot y{e^x}\left( {1 + {e^x}} \right) - \left( {1 + 3{e^x} + {e^{2x}}} \right)\dot y\left( {1 + {e^x}} \right) = {\left( {1 + {e^x}} \right)^3}\left( {t + {e^t}} \right)$

$\ddot y {\left( {1 + {e^x}} \right)^3} + \dot y\left( {1 + {e^x}} \right)\left( {{e^x} - \left( {1 + 3{e^x} + {e^{2x}}} \right)} \right) = {\left( {1 + {e^x}} \right)^3}\left( {t + {e^t}} \right)$

$\ddot y {\left( {1 + {e^x}} \right)^3} + \dot y\left( {1 + {e^x}} \right)\left( { - 1 - 2{e^x} - {e^{2x}}} \right) = {\left( {1 + {e^x}} \right)^3}\left( {t + {e^t}} \right)$

$\ddot y {\left( {1 + {e^x}} \right)^3} + \dot y\left( {1 + {e^x}} \right)\left( { - {{\left( {1 + {e^x}} \right)}^2}} \right) = {\left( {1 + {e^x}} \right)^3}\left( {t + {e^t}} \right)$

$\ddot y {\left( {1 + {e^x}} \right)^3} - \dot y{\left( {1 + {e^x}} \right)^3} = {\left( {1 + {e^x}} \right)^3}\left( {t + {e^t}} \right){\rm{     }}{\text{      }}{\text{      }} /:{\left( {1 + {e^x}} \right)^3}$

$\ddot y - \dot y = t + {e^t}$

Најпре решавамо хомогени део ове диференцијалне једначине.

$\ddot y - \dot y = 0$

${k^2} - k = 0$

$k\left( {k - 1} \right) = 0$

${k_1} = 0{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \wedge {\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} {k_2} = 1$

${y_h} = {C_1}{e^{0t}} + {C_2}{e^{1t}}$

${y_h} = {C_1} + {C_2}{e^t}$

\[{y_h} = {C_1} + {C_2}{e^{x + {e^x}}}\]

Нехомогени део раздвојићемо на две функције и на тај начин добити два партикуларна решења.

${f_1}\left( t \right) = t$

$\left. \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} a \pm ib = 0{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} r = 1$

$\left. \begin{array}{l}
n = 1\\
m = /
\end{array} \right\} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} N = 1$

${y_{{p_1}}} = {t^1}{e^{0t}}\left( {\left( {At + B} \right)\cos 0t + \left( {Ct + D} \right)\sin 0t} \right)$

${y_{{p_1}}} = t\left( {At + B} \right)$

${{\dot y}_{{p_1}}} = 2At + B$

${{\ddot y}_{{p_1}}} = 2A$

 

$2A - \left( {2At + B} \right) = t$

$ - 2A = 1 {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\text{      }}{\text{      }} A =  - \frac{1}{2}$

$2A + B = 0 {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow{\text{      }}{\text{      }} B = 1$

${y_{{p_1}}} =  - \frac{1}{2}{t^2} + t$

\[{y_{{p_1}}} =  - \frac{{{{\left( {x + {e^x}} \right)}^2}}}{2} + x + {e^x}\]

 

${f_2}\left( t \right) = {e^t}$

$\left. \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow {\rm{   }{\text{      }}{\text{      }} }a \pm ib = 1{\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }}{\text{      }}{\text{      }} r = 1$

$\left. \begin{array}{l}
n = 0\\
m = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow {\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} N = 0$

${y_{{p_2}}} = {t^1}{e^{1t}}\left( {A\cos 0t + B\sin 0t} \right)$

${y_{{p_2}}} = At{e^t}$

${{\dot y}_{{p_2}}} = A{e^t} + At{e^t} = {e^t}\left( {A + At} \right)$

${{\ddot y}_{{p_2}}} = {e^t}\left( {A + At} \right) + {e^t}A = {e^t}\left( {2A + At} \right)$

 

${e^t}\left( {2A + At} \right) - {e^t}\left( {A + At} \right) = {e^t}$

${e^t}\left( {2A + At - A - At} \right) = {e^t}$

$A = 1$

${y_{{p_2}}} = t{e^t}$

\[{y_{{p_2}}} = \left( {x + {e^x}} \right){e^{x + {e^x}}}\]

 

\[Y = {y_h} + {y_{{p_1}}} + {y_{{p_2}}} = {C_1} + {C_2}{e^{x + {e^x}}} - \frac{{{{\left( {x + {e^x}} \right)}^2}}}{2} + x + {e^x} + \left( {x + {e^x}} \right){e^{x + {e^x}}}\]

 

 

6. Сменом   $t = arctgx$   диференцијалну једначину   ${\left( {1 + {x^2}} \right)^2}y'' + 2x\left( {1 + {x^2}} \right)y' + y = 4arctgx$   свести на диференцијалну једначину са константним коефицијентима и решити је.

$t = arctgx$

$dt = \frac{1}{{1 + {x^2}}}dx$

$\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{1}{{1 + {x^2}}}$

 

$y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}} = \dot y\frac{1}{{1 + {x^2}}}$

$y'' = \frac{{dy'}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\dot y\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right) = \frac{{d\dot y}}{{dx}}\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \dot y\frac{{d\left( {\frac{1}{{1 + {x^2}}}} \right)}}{{dx}} = $

$ {\text{      }}{\text{      }} {\text{      }}{\text{      }} = \frac{{d\dot y}}{{dt}} \cdot \frac{{dt}}{{dx}}\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \dot y\left( { - \frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}2x} \right) = \ddot y\frac{1}{{1 + {x^2}}}\frac{1}{{1 + {x^2}}} - \dot y\frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}$

 

${\left( {1 + {x^2}} \right)^2}\left( {\ddot y\frac{1}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}} - \dot y\frac{{2x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}} \right) + 2x\left( {1 + {x^2}} \right)\dot y\frac{1}{{1 + {x^2}}} + y = 4t$

$\ddot y - 2x\dot y + 2x\dot y + y = 4t$

$\ddot y + y = 4t$

 

$\ddot y + y = 0$

${k^2} + 1 = 0$

${k_{1/2}} =  \pm i$

${y_h} = {e^{0t}}\left( {{C_1}\cos 1t + {C_2}\sin 1t} \right)$

\[{y_h} = {C_1}\cos \left( {arctgx} \right) + {C_2}\sin \left( {arctgx} \right)\]

\[{y_h} = {C_1}\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + {C_2}\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\]

 

$f\left( t \right) = 4t$

$\left. \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 0
\end{array} \right\} \Rightarrow {\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} a \pm ib = 0{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} \Rightarrow {\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} r = 0$

$\left. \begin{array}{l}
m = /\\
n = 1
\end{array} \right\} \Rightarrow {\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} N = 1$

${y_p} = {t^0}{e^{0t}}\left( {\left( {At + B} \right)\cos 0t + \left( {Ct + D} \right)\sin 0t} \right)$

${y_p} = At + B$

${{\dot y}_p} = A$

${{\ddot y}_p} = 0$

 

$0 + At + B = 4t$

$A = 4{\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} \wedge {\rm{   }} {\text{      }}{\text{      }} B = 0$

${y_p} = 4t$

\[{y_p} = 4arctgx\]

 

\[Y = {y_h} + {y_p} = {C_1}\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + {C_2}\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 4arctgx\]