Диференцијалне једначине - решени задаци
Поступно решени задаци из дифреренцијалних једначина. Задатке приредила професор Сузана Исаков.

Диференцијалне једначине које се своде на хомогене

\[\begin{array}{l} y' = f\left( {\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}} \right) \\ {\text{ако је }} \delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a_1}&{b_1}\\{a_2}&{b_2} \end{array}} \right| \ne 0 \\ {\text{уводимо смену: }} \\ x = X + \alpha {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}dx = dX \\ y = Y + \beta {\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}dy = dY \\ {\text{где су }} \alpha {\text{ и }} \beta {\text{ решења система }} \\ {a_1}\alpha + {b_1}\beta + {c_1} = 0 \\ {a_2}\alpha + {b_2}\beta + {c_2} = 0 \\ \\ {\text{ако је }} \delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a_1}&{b_1}\\{a_2}&{b_2} \end{array}} \right| = 0 \\ {\text{уводимо смену: }} {a_2}x + {b_2}y + {c_2} = t,{\rm{ }}{\text{ где је }}t = t\left( x \right) \end{array}\]

Задаци

1. Наћи опште решење диференцијалне једначине  $y' = \frac{{x - y + 1}}{{x + y - 3}}$.

Како је $\delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
1&1
\end{array}} \right| = 1 - \left( { - 1} \right) = 2 \ne 0$
и решења система  $\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha  - \beta  + 1 = 0}\\
{\underline {\alpha  + \beta  - 3 = 0} }
\end{array}$

$\alpha  = 1,\beta  = 2$

уводимо смену:

$x = X + 1{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}dx = dX$

$y = Y + 2{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}dy = dY$

при чему важи да је $y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dY}}{{dX}} = Y'$

 

$Y' = \frac{{X + 1 - Y - 2 + 1}}{{X + 1 + Y + 2 - 3}} = \frac{{X - Y}}{{X + Y}}$

$Y' = \frac{{X\left( {1 - \frac{Y}{X}} \right)}}{{X\left( {1 + \frac{Y}{X}} \right)}}$

На овај начин смо добили хомогену диференцијалну једначину коју решавамо уобичајеном сменом,

$\frac{Y}{X} = t \Rightarrow Y = tX \Rightarrow Y' = t'X + t$

$t'X + t = \frac{{1 - t}}{{1 + t}}$

$\frac{{dt}}{{dX}}X = \frac{{1 - t - t - {t^2}}}{{1 + t}}$

$\frac{{\left( {1 + t} \right)dt}}{{1 - 2t - {t^2}}} = \frac{{dX}}{X}{\rm{   }} {\text{   }} {\text{   }} /\int {} $

$\int {\frac{{\left( {1 + t} \right)dt}}{{1 - 2t - {t^2}}} = \int {\frac{{dX}}{X}} } $

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 - 2t - {t^2} = s}\\
{\left( { - 2 - 2t} \right)dt = ds}\\
{\left( {1 + t} \right)dt = \frac{{ds}}{{ - 2}}}
\end{array}} \right|$

$\int {\frac{{\frac{{ds}}{{ - 2}}}}{s}}  = \int {\frac{{dX}}{X}} $

$ - \frac{1}{2}\ln \left| s \right| = \ln X + \ln C$

$s = {\left( {XC} \right)^{ - 2}}$

$1 - 2t - {t^2} = \frac{1}{{{X^2}{C^2}}}$

$1 - 2\frac{Y}{X} - {\left( {\frac{Y}{X}} \right)^2} = \frac{1}{{{X^2}{C^2}}}$

$\frac{{{X^2} - 2XY - {Y^2}}}{{{X^2}}} = \frac{1}{{{X^2}{C^2}}}$

Kako je  $\begin{array}{*{20}{c}}
{x = X + 1{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}X = x - 1}\\
{y = Y + 2{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}Y = y - 2}
\end{array}$ 
враћајући смену добијамо опште решење полазне диференцијалне једначине

\[{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {y - 2} \right) - {\left( {y - 2} \right)^2} = {C_1}\]

 

 

2. Наћи опште решење диференцијалне једначине  $\left( {2x + y + 1} \right)dx - \left( {4x + 2y - 3} \right)dy = 0$.

$\left( {2x + y + 1} \right)dx = \left( {4x + 2y - 3} \right)dy$

$\frac{{2x + y + 1}}{{4x + 2y - 3}} = \frac{{dy}}{{dx}}$

$y' = \frac{{2x + y + 1}}{{4x + 2y - 3}}$

$\delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
4&2
\end{array}} \right| = 4 - 4 = 0$

$4x + 2y - 3 = t \Rightarrow y = \frac{{t - 4x + 3}}{2} \Rightarrow y' = \frac{1}{2}t' - 2$

$2\left( {2x + y} \right) - 3 = t$

$2x + y = \frac{{t + 3}}{2}$

 

$\frac{1}{2}t' - 2 = \frac{{\frac{{t + 3}}{2} + 1}}{t}$

$\frac{1}{2}\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{{\frac{{t + 3 + 2}}{2}}}{t} + 2$

$\frac{1}{2}\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{{t + 5 + 4t}}{{2t}}$

$\frac{{dt}}{{dx}} = \frac{{5 + 5t}}{{2t}} \cdot 2$

$\frac{{tdt}}{{5 + 5t}} = dx{\rm{   }}/\int {} $

$\int {\frac{t}{{5 + 5t}}dt = \int {dx} } $

$\frac{1}{5}\int {\frac{{t + 1 - 1}}{{1 + t}}dt = x + C} $

$\frac{1}{5}\left( {\int {dt}  - \int {\frac{{dt}}{{t + 1}}} } \right) = x + C$

$\frac{1}{5}t - \frac{1}{5}\ln \left| {t + 1} \right| = x + C$

$\frac{{4x + 2y - 3}}{5} - \frac{1}{5}\ln \left| {4x + 2y - 3 + 1} \right| = x + C$

\[\frac{{ - x + 2y - 3}}{5} - \frac{1}{5}\ln \left| {4x + 2y - 2} \right| = C\]

 

3. Наћи опште решење диференцијалне једначине  $y' = 2{\left( {\frac{{y + 2}}{{x + y - 1}}} \right)^2}$.

Како је $\delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
1&1
\end{array}} \right| = 0 - 1 =  - 1 \ne 0$
и решења система  $\begin{array}{*{20}{c}}
{\beta  + 2 = 0}\\
{\underline {\alpha  + \beta  - 1 = 0} }
\end{array}$

$\alpha  = 3,\beta  =  - 2$

уводимо смену:

$x = X + 3{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}dx = dX$

$y = Y - 2{\rm{   }} \Rightarrow {\rm{   }}dy = dY$

при чему важи да је $y' = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dY}}{{dX}} = Y'$

 

$Y' = 2{\left( {\frac{{Y - 2 + 2}}{{X + 3 + Y - 2 - 1}}} \right)^2} = 2{\left( {\frac{Y}{{X + Y}}} \right)^2}$

Да би могли раздвојити променљиве овом задатку прећићемо на хомогену диференцијалну једначину по $X$

$X' = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{X + Y}}{Y}} \right)^2}$

па уводимо смену $\frac{X}{Y} = t \Rightarrow X = tY \Rightarrow X' = t'Y + t$

$t'Y + t = \frac{1}{2}{\left( {t + 1} \right)^2}$

$\frac{{dt}}{{dY}}Y = \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{2} - t$

$\frac{{dt}}{{dY}}Y = \frac{{{t^2} + 1}}{2}$

$\frac{{2dt}}{{{t^2} + 1}} = \frac{{dY}}{Y}{\rm{   }}/\int {} $

$2\int {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}} = \int {\frac{{dY}}{Y}} } $

$2arctgt = \ln \left| Y \right| + \ln C$

$2arctg\frac{X}{Y} = \ln YC$

\[2arctg\frac{{x - 3}}{{y + 2}} = \ln \left( {y + 2} \right)C\]

 

 

4. Наћи опште решење диференцијалне једначине  $x - y - 1 + \left( {y - x + 2} \right)y' = 0$.

$\left( {y - x + 2} \right)y' =  - x + y + 1$

$y' = \frac{{ - x + y + 1}}{{y - x + 2}}$

Како је у овој диференцијалној једначини  $\delta  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1\\
{ - 1}&1
\end{array}} \right| =  - 1 + 1 = 0$
уводимо смену

$ - x + y + 2 = t \Rightarrow y = t + x - 2 \Rightarrow y' = t' + 1$

$ - x + y = t - 2$

 

$t' + 1 = \frac{{t - 2 + 1}}{t}$

$t' = \frac{{t - 1 - t}}{t}$

$\frac{{dt}}{{dx}} =  - \frac{1}{t}$

$tdt =  - dx{\rm{   }}/\int {} $

$\frac{{{t^2}}}{2} =  - x + C$

${\left( { - x + y + 2} \right)^2} =  - 2x + 2C$

${x^2} + {y^2} + 4 - 2xy - 4x + 4y =  - 2x + 2C$

\[{\left( {x - y} \right)^2} - 2x + 4y = {C_1}\]