Примена одређеног интеграла 8
Одређени интеграл. Примена одређеног интеграла на израчунавање дужине лука криве. Сложенији примери.
Задаци
Текст задатака објашњених у видео лекцији:
Пр.8) Одредити дужину лука криве $y = \ln \left( {1 - {x^2}} \right)$ на интервалу
$0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}$.
$y = \ln \left( {1 - {x^2}} \right)$
$y' = \frac{1}{{1 - {x^2}}} \cdot {\left( {1 - {x^2}} \right)^\prime }$
$y' = \frac{{ - 2x}}{{1 - {x^2}}}$
$l = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{ - 2x}}{{1 - {x^2}}}} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {1 + \frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {\frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2} + 4{x^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx = $
$ = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {\frac{{1 - 2{x^2} + {x^4} + 4{x^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{1 + {x^2}}}{{1 - {x^2}}}} dx = - \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} dx = $
$ = - \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} - 1 + 1 - 1}}{{{x^2} - 1}}} dx = - \left( {\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{2}{{{x^2} - 1}}dx} } } \right) = - \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {dx} - 2\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{dx}}{{{x^2} - 1}}} = $
$ = \left. {\left( { - x + 2 \cdot \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2} + \ln \left| {\frac{{1 + \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}}} \right| - \left( {0 + \ln \left| {\frac{{1 + 0}}{{1 - 0}}} \right|} \right) =$
$= - \frac{1}{2} + \ln 3 - 0 = - \frac{1}{2} + \ln 3$