Четврти разред средње школе

Примена одређеног интеграла 8

Одређени интеграл. Примена одређеног интеграла на израчунавање дужине лука криве. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.8)   Одредити дужину лука криве $y = \ln \left( {1 - {x^2}} \right)$ на интервалу

            $0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}$.

$y = \ln \left( {1 - {x^2}} \right)$

$y' = \frac{1}{{1 - {x^2}}} \cdot {\left( {1 - {x^2}} \right)^\prime }$

$y' = \frac{{ - 2x}}{{1 - {x^2}}}$

$l = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{ - 2x}}{{1 - {x^2}}}} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {1 + \frac{{4{x^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {\frac{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2} + 4{x^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx = $

$ = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {\frac{{1 - 2{x^2} + {x^4} + 4{x^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}} } dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{1 + {x^2}}}{{1 - {x^2}}}} dx =  - \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} dx = $

$ =  - \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} - 1 + 1 - 1}}{{{x^2} - 1}}} dx =  - \left( {\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{2}{{{x^2} - 1}}dx} } } \right) =  - \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {dx}  - 2\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{dx}}{{{x^2} - 1}}}  = $

$ = \left. {\left( { - x + 2 \cdot \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} =  - \frac{1}{2} + \ln \left| {\frac{{1 + \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{2}}}} \right| - \left( {0 + \ln \left| {\frac{{1 + 0}}{{1 - 0}}} \right|} \right) =$

$= - \frac{1}{2} + \ln 3 - 0 =  - \frac{1}{2} + \ln 3$