Четврти разред средње школе

Примена одређеног интеграла 2

Одређени интеграл. Примена одређеног интеграла на израчунавање површине. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.2)   Израчунај површину ограничену параболом $y = {x^2} + x + 3$ и

            правом $y = x + 7$.

 

$P:y = {x^2} + x + 3$

нула: $y = 0$

${x^2} + x + 3 = 0$

${x_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {1 - 4 \cdot 3} }}{2} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt { - 11} }}{2}$

473 png

$p:y = x + 7$

нула: $y = 0$

$x + 7 = 0$

$x =  - 7$

474 png

\[P \cap p:\left\{ \begin{gathered}
y = {x^2} + x + 3 \hfill \\
y = x + 7 \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\]

\[\begin{array}{*{20}{c}}
\begin{gathered}
{x_1} = - 2 \hfill \\
{y_1} = 5 \hfill \\
A\left( { - 2;5} \right) \hfill \\ 
\end{gathered} &{}&\begin{gathered}
{x_2} = 2 \hfill \\
{y_2} = 9 \hfill \\
B\left( {2;9} \right) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\end{array}\]

475 png

$P = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {x + 7} \right)} dx - \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {{x^2} + x + 3} \right)} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {x + 7 - {x^2} - x - 3} \right)} dx = $

$ = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)} dx =  - \frac{{{x^3}}}{3} + \left. {4x} \right|_{ - 2}^2 =  - \frac{{{2^3}}}{3} + 4 \cdot 2 - \left( { - \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}{3} + 4 \cdot \left( { - 2} \right)} \right) = $

$ = \frac{{ - 8}}{3} + 8 - \frac{8}{3} + 8 = 16 - \frac{{16}}{3} = \frac{{32}}{3}$