Четврти разред средње школе

Одређени интеграл 1

Одређени интеграл. Дефиниција. Основна својства. Метода смене код одређеног интеграла. Једноставни примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.1)   Решити   $\int\limits_1^4 {\sqrt x } dx$

Пр.2)   $\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {1 - 2x + 3{x^2}} \right)} dx$

 

Пр.1)   $\int\limits_1^4 {\sqrt x } dx = \int\limits_1^4 {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = \left. {\frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right|_1^4 = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_1^4 = \frac{2}{3}{\sqrt 4 ^3} - \frac{2}{3}{\sqrt 1 ^3} = \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} = $

$ = \frac{2}{3}\left( {8 - 1} \right) = \frac{2}{3} \cdot 7 = \frac{{14}}{3}$

 

Пр.2)   $\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {1 - 2x + 3{x^2}} \right)} dx = \int\limits_{ - 1}^3 1 dx + \int\limits_{ - 1}^3 { - 2x} dx + \int\limits_{ - 1}^3 {3{x^2}} dx = $

$ = \left. x \right|_{ - 1}^3 - 2\left. {\frac{x}{2}} \right|_{ - 1}^3 + 3\left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{ - 1}^3 = \left. {\left( {x - {x^2} + {x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^3 = $

$ = \left( {3 - {3^2} + {3^3}} \right) - \left( { - 1 - {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^3}} \right) = 3 - 9 + 27 - \left( { - 1 - 1 - 1} \right) = 24$