Четврти разред средње школе

Неодређени интеграли - метода смене 6

Интеграли. Особине интеграла. Метода смене. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.22)   Решити $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} {{\arcsin }^4}x}}} $

Пр.23)   $\int {\frac{{x - arctgx}}{{1 + {x^2}}}} dx$

Пр.24)   $\int {\frac{{\ln 3x}}{{x\ln 9x}}} dx$

 

Пр.22)   $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} {{\arcsin }^4}x}}}= $

$\arcsin x = t$

$\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx = dt$

$ = \int {\frac{{dt}}{{{t^4}}}}  = \int {{t^{ - 4}}} dt = \frac{{{t^{ - 3}}}}{{ - 3}} + C = \frac{1}{{ - 3{{\arcsin }^3}x}} + C$

 

Пр.23)   $\int {\frac{{x - arctgx}}{{1 + {x^2}}}} dx=$

$\operatorname{arc} tgx = t \Rightarrow x = tgt$

$\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx = dt$

$ = \int {\left( {tgt - t} \right)} dt = \int {tgt} dt - \int t dt = \int {\frac{{\sin t}}{{\cos t}}} dt - \frac{{{t^2}}}{2} + C = $

$\cos t = s$

$ - \operatorname{sintdt}  = ds$

$\operatorname{sintdt}  =  - ds$

$ = \int {\frac{{ - ds}}{s}}  - \frac{{{t^2}}}{2} + C =  - \ln \left| s \right| - \frac{{{t^2}}}{2} + C =  - \ln \left| {\cos t} \right| - \frac{{{t^2}}}{2} + C = $

$ =  - \ln \left| {\cos \left( {\operatorname{arc} tgx} \right)} \right| - \frac{{\operatorname{arc} t{g^2}x}}{2} + C$

 

Пр.24)   $\int {\frac{{\ln 3x}}{{x\ln 9x}}} dx = \int {\frac{{\ln 3x}}{{x\left( {\ln 3 + \ln 3x} \right)}}} dx = $

$\ln 3x = t$

$\frac{1}{{3x}} \cdot \left( {3x} \right)dx = dt$

$\frac{1}{{3x}}3dx = dt$

$ = \int {\frac{t}{{\ln 3 + t}}} dt = \int {\frac{{t + \ln 3 - \ln 3}}{{\ln 3 + t}}} dt = \int {\frac{{t + \ln 3}}{{\ln 3 + t}}} dt - \int {\frac{{\ln 3}}{{\ln 3 + t}}} dt = $

$ = t - \ln 3\int {\frac{1}{{\ln 3 + t}}} dt = $

$\ln 3 + t = s$

$dt = ds$

$ = t - \ln 3\int {\frac{{ds}}{3}}  = t - \ln 3 \cdot \ln \left| s \right| + C = t - \ln 3 \cdot \ln \left| {\ln 3 + t} \right| + C = $

$ = \ln 3x - \ln 3 \cdot \ln \left| {\ln 3 + \ln 3x} \right| + C$