Четврти разред средње школе

Функције - парност функције 2

Функције. Парност и непарност функције. Одређивање парности на сложенијим примерима.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

 

пр.8) $f(x) = \frac{{2{x^2} -3x+1}}{{1-x}}$

пр.9) $f(x) = \frac{{{{25}^x} - 1}}{{{5^x}}}$

пр.10) $f(x) = {\log _a}(x + \sqrt {1 + {x^2}} )$

 

пр.8) $f(x) = \frac{{2{x^2} -3x+1}}{{1-x}}$

$f( - x) = \frac{{2{{\left( { - x} \right)}^2} - 3\left( { - x} \right) + 1}}{{1 - \left( { - x} \right)}} = \frac{{2{x^2} + 3x + 1}}{{1 + x}} \ne f\left( x \right)$ није парна

$ - f(x) =  - \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{1 - x}} = \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{ - 1 + x}} \ne f\left( { - x} \right)$ није непарна

 

пр.9) $f(x) = \frac{{{{25}^x} - 1}}{{{5^x}}}$

$f( - x) = \frac{{{{25}^{ - x}} - 1}}{{{5^{ - x}}}} = \frac{{\frac{1}{{{{25}^x}}} - 1}}{{\frac{1}{{{5^x}}}}} = \frac{{\frac{{1 - {{25}^x}}}{{{{25}^x}}}}}{{\frac{1}{{{5^x}}}}} = \frac{{{5^x}\left( {1 - {{25}^x}} \right)}}{{{{25}^x}}} = \frac{{1 - {{25}^x}}}{{{5^x}}} =  - \frac{{{{25}^x} - 1}}{{{5^x}}} =  - f\left( x \right)$ непарна

 

пр.10) $f(x) = {\log _a}(x + \sqrt {1 + {x^2}} )$

 $f( - x) = {\log _a}( - x + \sqrt {1 + {{\left( { - x} \right)}^2}} ) = {\log _a}( - x + \sqrt {1 + {x^2}} ) \ne f\left( x \right)$

$ - f(x) =  - {\log _a}(x + \sqrt {1 + {x^2}} ) = {\log _a}{(x + \sqrt {1 + {x^2}} )^{ - 1}} = {\log _a}\frac{1}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }} \cdot \frac{{x - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{x - \sqrt {1 + {x^2}} }} = $

$= {\log _a}\frac{{x - \sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2} - {{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} = {\log _a}\frac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2} - 1 - {x^2}}} = {\log _a}\left( { - x - \sqrt {1 + {x^2}} } \right) = f\left( { - x} \right)$ непарна