Четврти разред средње школе

Функције - извод имплицитне функције 2

Извод имплицитно задате функције. Сложенији примери.

Задаци

Текст задатака објашњених у видео лекцији:

Пр.6)   Одредити извод функције:

            $y = {x^x}$

Пр.7)   $y = {x^{{x^x}}}$

Пр.8)   $y = x{\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}}$

 

Пр.6)   $y = {x^x}$

$y = {x^x}/\ln$
$\ln y = \ln {x^x}$ 
$\ln y = x\ln x/'$
$\frac{1}{y}y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} $
$y' = y\left( {\ln x + 1} \right) $
$y' = {x^x}\left( {\ln x + 1} \right)$

Пр.7)   $y = {x^{{x^x}}}$

$y = {x^{{x^x}}}/\ln$
$\ln y = \ln {x^{{x^x}}} $
$\ln y = {x^x}\ln x/'$ 
$\frac{1}{y}y' = \left( {{x^x}} \right) \cdot \ln x + {x^x} \cdot \frac{1}{x} $
$\frac{1}{y}y' = {x^x}\left( {\ln x + 1} \right) \cdot \ln x + {x^x} \cdot {x^{ - 1}} $
$y' = y\left( {{x^x}\left( {\ln x + 1} \right) \cdot \ln x + {x^{x - 1}}} \right)$ 
$y' = {x^{{x^x}}}\left( {{x^x}\left( {\ln x + 1} \right) \cdot \ln x + {x^{x - 1}}} \right)$

Пр.8)   $y = x{\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}}$

$y' = 1x{\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}} + x\left( {{{\left( {\ln x} \right)}^{1 - \cos x}}} \right) $
$t = {\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}}/\ln $
$\ln t = \ln \left( {{{\left( {\ln x} \right)}^{1 - \cos x}}} \right) $
$\ln t = \left( {1 - \cos x} \right)\ln \left( {\ln x} \right)/' $
$\frac{1}{t}t' = {\left( {1 - \cos x} \right)^\prime }\ln \left( {\ln x} \right) + \left( {1 - \cos x} \right){\left( {\ln $\left( {\ln x} \right)} \right)^\prime } $
$\frac{1}{t}t' = \left( {0 + \sin x} \right)\ln \left( {\ln x} \right) + \left( {1 - \cos x} \right)\frac{1}{{\ln x}}{\left( {\ln x} \right)^\prime } $
$t' = t\left( {sinx\ln \left( {\ln x} \right) + \left( {1 - \cos x} \right)\frac{1}{{x\ln x}}} \right) $
$t' = {\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}}\left( {\sin x\ln \left( {\ln x} \right) + \left( {1 - \cos x} \right)\frac{1}{{x\ln x}}} \right) $
$y' = 1x{\left( {\ln x} \right)^{1 - \cos x}} + x\left( {{{\left( {\ln x} \right)}^{1 - \cos x}}} \right) \cdot \left( {\sin x\ln \left( {\ln x} \right) + \frac{{1 - \cos x}}{{x\ln x}}} \right)$