Обртна тела

Лопта

Сфера је скуп тачака простора које су једнако удаљене од дате тачке коју називамо центар сфере.

Лопта је део простора ограничен сфером.

Нека је $R$ полупречник лопте. Важи 

$P = 4{R^2}\pi$

$V = \frac{{4{R^3}\pi }}{3}$

Калота

$P_K=2R\pi h$

Одсечак

$P_O=P_K+r^2\pi$

$V_O=\frac{1}{3}h^2\pi(3R-h)$

Лоптин исечак

$P_I=M_{kupe}+P_{kalote}=rR\pi+2R\pi h$

$V_I=\frac{2}{3}R^2\pi h$

Лоптин слој

$P_S=2R\pi h$

Ваљак

Ваљак је део простора ограничен кружном цилиндричном површи и двема подударним кружним површима.

Прав ваљак је ваљак чије су бочне ивице нормалне на раван основе, док код косог ваљка бочне ивице нису нормалне на раван основе.

Висина ( Н ) ваљка је дуж чији крајеви припадају равнима основа и која је нормална на њих.

Обртно тело је геометријско тело које настаје обртањем произвољне равне фигуре око осе $s$.

Прав ваљак је обртно тело које настаје ротацијом правоугаоника око осе која садржи једну његову страницу.

$B=r^2\pi$

$M=2r\pi \cdot H$

$P=2B+M \Rightarrow P=2r^2\pi+2r\pi H=2r\pi (r+H)$

$V=B \cdot H \Rightarrow V=r^2\pi H$

Осни пресек ваљка:

$P_{op}=2r \cdot H$

Купа

Купа је део простора ограничен кружном конусном површи и кругом.

Права купа је купа чије су све изводнице ( $s$ ) међусобно једнаке, заклапају подударне углове са равни основе и чије подножје висине пада у центар кружнице која се налази у бази, док код косе купе висина не пада у центар базе.

Висина ( Н ) купе је дуж која из врха купе пада нормално на раван основе. Код праве купе подножје висине је у центру кружнице која се налази у бази, док код косе није.

Права купа је обртно тело које настаје ротацијом правоуглог троугла око осе која садржи једну његову катету.

$B=r^2\pi$

$M=rs\pi$

$P=B+M \Rightarrow P=r^2\pi+rs\pi=r\pi (r+s)$

$V=\frac{1}{3}B \cdot H \Rightarrow V=\frac{1}{3}r^2\pi H$

Осни пресек купе:

$P_{op}=\frac{2r \cdot H}{2}=rH$

$s^2=H^2+r^2$

Зарубљена купа

Зарубљена купа је део простора ограничен кружном конусном површи и два круга који су хомотетични у односу на врх конуса.

$r_1$-полупречник доње основе

$r_2$-полупречнок горње основе

$H$-висина зарубљене купе

$s$-изводница зарубљене купе

Зарубљена купа је обртно тело које настаје ротирањем правоуглог трапеза око његовог краћег крака.

$B_1=r_1^2\pi$

$B_2=r_2^2\pi$

$M=s\pi(r_1+r_2)$

$P=B_1+B_2+M \Rightarrow P=r_1^2\pi+r_2^2\pi+s\pi(r_1+r_2)=\pi(r_1^2+r_2^2+s(r_1+r_2))$

$V=\frac{H}{3}(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2) \Rightarrow V=\frac{H\pi}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$

Осни пресек зарубљене купе:

$P_{op}=\frac{2r_1+2r_2}{2} \cdot H=(r_1+r_2)H$

$s^2=H^2+(r_1-r_2)^2$

Лопта и полиедри

Призма уписана у лопту

Да би око призме могли описати лопту потребно је и довољно да призма буде права и да се око њене основе може описати круг.

Око призме описујемо ваљак, па око ваљка лопту!

-Правилна тространа призма уписана у лопту:

у основи је једнакостраничан тругао: $r_o=\frac{2}{3}h_a=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

-Правилна четворострана призма уписана у лопту

у основи је квадрат: $r_o=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

-Правилна шестострана призма уписана у лопту

у основи је правилан шестоугао: $r_o=a$

-Тространа призма која у основи има разностраничан троугао уписана у лопту

у основи је произвољан троугао: $P_{\Delta}=... \quad P_{\Delta}=\frac{abc}{4r_o}$

Пирамида уписана у лопту

Да би се око пирамиде могла описати лопта потребно је и довољно да се око њене основе може описати круг.

Око пирамиде описујемо купу, а затим око купе лопту!

-Правилна четворострана пирамида уписана у лопту

$r_o$- полупречник кружнице описане око основе

Лопта уписана у призму

Да би се у призму могла уписати лопта потребно је и довољно да се у њен нормално пресек може уписати круг чији је пречник једнак висини призме.

-Лопта уписана у призму која у основи има разностраничан троугао

у основи је разностраничан троугао: $P_{\Delta}=... \quad \quad P_{\Delta}=r_u\cdot s$ где је $s=\frac{a+b+c}{2}$

-Лопта уписана у правилну тространу призму
у основи је једнакостранични троугао: $r_u=\frac{1}{3}h_a=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

-Лопта уписана у правилну четворострану призму

у основи је квадрат: $r_u=\frac{a}{2}$

'Лопта уписана у правилну шестострану призму

у основи је правилан шестоугао: $r_u=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Лопта уписана у пирамиду

Да би у пирамиду могли уписати лопту потребно је и довољно да нагибни углови бочних страна према равни основе буду једнаки.

-Лопта уписана у правилну четворострану пирамиду

Правилни полиедри 

Полиедар је правилан, ако су његове стране правилни многоуглови са истим бројемстраница и ако су у сваком темену састаје исти број ивица.

Постоји тачно пет различитих полиедара.

Ознаке

Нека је $a$ дужина ивице, $d$ број ивица које се састају у једном темену (број ивичних углова са тим теменом), $k$ број страница сваке пљосни (стране многоугла), $s$ број страна, $t$ број темена, а $i$ укупан број ивица полиедра.

Ојлерова формула

$s + t - i = 2$

Важи и 

$ks = dt = 2i$.